四种放大电路推导 - Shaw 的小屋

p77（7.3 分钟）、p78（5.1 分钟）、p79（10 分钟）、p80（10.8 分钟）

这四种电路都不用课本的叠加定理，统一拿「虚短 + 虚断 + 分压公式」推。

统一的推导流程#

1
① 判断虚短：先看有无负反馈回路（饱和问题在初期分析时先不管）
2
② 判断虚断：看外部电阻是否 K 级、偏置电流是否远小于网络电流
3
③ 用虚断把电路化简成电阻分压
4
④ 用分压公式列方程
5
⑤ 用虚短联立
6
⑥ 化简

同相放大#

电路#

1
         ┌──[ R1 = 9K ]──┐
2
         │               │
3
Vin ──[1K]── V+         V−
4
                             │
5
                            Vout
6
         GND ←──── R2 = 1K ──┘

（Vout 经 R1 到 V−，V− 再经 R2 到 GND；Vin 经电阻到 V+）

推导#

1
① 用虚断：Vin = V+                                    …(式1)
2

3
② 用虚断简化输出侧：Vout 经 9K(R1) → 1K(R2) → GND，V− 为中点
4
   V− = Vout × R2/(R1+R2)                             …(式2)
5

6
③ 用虚短 V+ = V−，把 (式1) 代入 (式2)：
7
   Vin = Vout × R2/(R1+R2)
8

9
④ 移项：
10
   Vout = Vin × (1 + R1/R2)

结果#

1
Vout = Vin × (1 + R1/R2)

代入 R1 = 9K、R2 = 1K → 9/1 = 9，9 + 1 = 10 → 10 倍同相放大。

仿真：Vin = 1V → Vout = 10V（实测 10.002V，2mV 偏差来自 VOS）。

注意公式形式#

课本上常写成 Vout = Vin × (1 + Rf/Rg)，其中 Rf 是反馈电阻、Rg 是接地电阻。

对应关系：这里的 R1 是反馈电阻（9K），R2 是接地电阻（1K）。别把两个电阻记反了。

反相放大#

先澄清一个判断标准#

不是所有运放电路的负反馈路径都从输出到 V−，有些电路经器件后把反馈接到 V+。

判据：

1
只要反馈最终让 V+ 与 V− 相互靠近  →  负反馈
2
让它们远离                        →  正反馈

前期分析只管有没有负反馈回路，不必管饱和。

电路#

1
Vin ──[ R1 = 1K ]── V−
2
                    │
3
                 [ R2 = 10K ]
4
                    │
5
                  Vout
6

7
        V+ ──[ 电阻 ]── GND

推导#

1
① 用虚断：V+ 经电阻到 GND → V+ = 0
2

3
② 用虚断简化：Vout 经 10K(R2) → V− → 1K(R1) → Vin
4

5
③ 分压公式（从 Vin 端起算）：
6
   V− = (Vout − Vin) × R1/(R1+R2) + Vin
7

8
④ 用虚短 V+ = V− = 0：
9
   (Vout − Vin) × R1/(R1+R2) + Vin = 0
10

11
⑤ 化简（R1、R2 同乘约掉，Vin 项相消）：
12
   Vout = −(R2/R1) × Vin

结果#

1
Vout = −(R2/R1) × Vin

代入 R2 = 10K、R1 = 1K → 反相放大 10 倍。

「反相」的意思就是那个负号——输入正电压，输出负电压。

反相放大的三个坑#

输入阻抗等于 R1（这里是 1K），比较低。前级驱动能力不足时会拉低信号。
输出是负的，需要双电源（正负电源）才能输出负电压。
V+ 端要接电阻到 GND（后面 p88 讲电阻匹配时会说为什么）。

单电源反相放大#

问题引入#

双电源反相放大：输入 +1V，反相放大 10 倍 → 输出 −10V，必须用 −12V 供电才能输出（实测 −9.9999V）。

改成单电源供电：输出一直 ≈ 0（实测约 4.0 几 mV）→ 输出非常容易失真。

原因：单电源只能输出 0V 以上，负的输出根本出不来。

解决方法：加偏置网络#

让默认输出不是 0 而是偏置电压。

1
例：加 5V 偏置 → 默认输出 = 5V
2
   信号从 5V 上往下变化 → 不失真 ✓

推导#

1
① 判断：有负反馈 → 虚短 ✓；外部电阻 K 级 → 虚断 ✓
2

3
② 用虚断简化 V+ 回路：5V 经 10K(R2) → 1K(R1) → GND，V+ 为中点
4
   V+ = 5V × R1/(R1+R2)                               …(式1)
5

6
③ 用虚断简化 V− 回路：Vout 经 10K(R2) → 1K(R1) → Vin
7
   V− = (Vout − Vin) × R1/(R1+R2) + Vin                …(式2)
8

9
④ 用虚短 V+ = V− 联立：
10
   5 × R1/(R1+R2) = (Vout − Vin) × R1/(R1+R2) + Vin
11

12
⑤ 两边同乘 (R1+R2)/R1：
13
   5 = Vout − Vin + Vin × (R1+R2)/R1
14

15
⑥ 展开 Vin × (R1+R2)/R1 = Vin + Vin × R2/R1 → Vin 项相消
16

17
⑦ 得：
18
   Vout = 5 − Vin × (R2/R1)

结果#

1
Vout = 5 − Vin × (R2/R1)

注意那个 5：就是偏置电压。偏置电压直接出现在公式的常数项里。

数值验证（R2 = 10K、R1 = 1K，放大 10 倍）#

1
Vin = 0V    → 计算 5V           实测 5V
2
Vin = +0.1V → 计算 5 − 1 = 4V   实测 4.003V
3
Vin = −0.1V → 计算 5 − (−1) = 6V 实测 6.003V

0.003V 偏差来自 VOS，可忽略。

关键的一点：输出在 5V 上下摆动，单电源 0~~12V 就能覆盖 4~~6V 的范围，不再需要负电源。

差分放大#

先化简 V+ 回路，因为运放很多时候是由 V+ 去决定 V− 的。

电路#

1
Vin− ──[ R1 = 1K ]── V+
2
                      │
3
                   [ R2 = 10K ]
4
                      │
5
                     GND
6

7
Vin+ ──[ R1 = 1K ]── V−
8
                      │
9
                   [ R2 = 10K ]
10
                      │
11
                    Vout

推导#

1
① V+ 回路：Vin− 经 1K(R1) → 10K(R2) → GND
2
   V+ = Vin− × R2/(R1+R2)                              …(式1)
3

4
② V− 回路：Vout 经 R2 → R1 → Vin+
5
   V− = (Vout − Vin+) × R1/(R1+R2) + Vin+              …(式2)
6

7
③ 用虚短联立，两边同乘 (R1+R2)：
8
   Vin− × R2 = (Vout − Vin+) × R1 + Vin+ × (R1+R2)
9

10
④ 两边除以 R1：
11
   Vin− × R2/R1 = Vout − Vin+ + Vin+ × (R1+R2)/R1
12

13
⑤ 展开 Vin+ × (R1+R2)/R1 = Vin+ + Vin+ × R2/R1 → Vin+ 项相消
14

15
⑥ 得：
16
   Vout = (Vin− − Vin+) × (R2/R1)

那个负号是怎么来的#

推完发现结果带负号。反复检查确认没画错，一度怀疑是自己记错了，于是用仿真验证：差分信号 Vin+ − Vin− = 0.1V，×10 后输出 −1V（实测 −1V）。

最后找到原因：电路接反了。把差分放大电路的正端接到了运放反相端、负端接到了同相端，所以出现负号。

正确接法#

1
同相端（V+）接差分信号的正端
2
反相端（V−）接差分信号的负端
3
→ 不会出现负号

结果#

1
Vout = (Vin+ − Vin−) × (R2/R1)

四种电路汇总#

电路	公式	特点
同相放大	`Vout = Vin × (1 + R1/R2)`	输入阻抗高，不反相
反相放大	`Vout = −(R2/R1) × Vin`	输入阻抗 = R1（低），反相
单电源反相	`Vout = Vbias − Vin × (R2/R1)`	偏置电压作为常数项
差分放大	`Vout = (Vin+ − Vin−) × (R2/R1)`	放大两路之差，抑制共模

记忆要点#

1
同相：1 + 比值      （分母是接地电阻）
2
反相：负的比值      （分子是反馈电阻）
3
差分：两路之差 × 比值
4
单电源：常数项 = 偏置电压

同相是 1+，反相是负号，差分是相减——这三个特征记住了，公式就不会混。

坑#

同相公式里那个 1 不能漏。
单电源反相公式的常数项就是偏置电压，别当成零。
差分放大的两个分压网络要对称（R1 对 R1、R2 对 R2），否则共模抑制会变差。
仿真差 2~3mV 来自运放的 VOS，正常。